一、选择题（每题3分，共15分）
1. 函数y=\frac{\ln(x + 2)}{\sqrt{1 - x}}的定义域是（ ）
A. (-2,1) B. [-2,1) C. (-2,1] D. [-2,1]
2. \lim_{x \to 0}\frac{\tan5x}{x}=（ ）
A. 0 B. 1 C. 5 D. \frac{1}{5}
3. 已知函数f(x)在x = a处可导，且f^\prime(a)=3，则\lim_{h \to 0}\frac{f(a + h)-f(a - h)}{h}=（ ）
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
4. 若\int f(x)dx = x^2e^x + C，则f(x)=（ ）
A. 2xe^x B. x^2e^x + 2xe^x C. x^2e^x D. xe^x
5. 定积分\int_{-1}^{1}(x^3 + \sin x)dx =（ ）
A. 0 B. 2 C. -2 D. 1
二、填空题（每题3分，共15分）
1. \lim_{x \to \infty}(1 + \frac{3}{x})^{2x} =______ 。
2. 函数y = x^3 - 3x^2 + 5的单调递增区间是______ 。
3. 曲线y = e^x在点(0,1)处的切线方程为______ 。
4. \int\frac{1}{x^2 + 4}dx =______ 。
5. 已知函数f(x)的一个原函数为\sin x，则\int f^\prime(x)\cos xdx =______ 。
三、计算题（每题8分，共40分）
1. 求极限\lim_{x \to 0}\frac{e^x - 1 - x}{x^2}。
2. 设函数y = \arctan\sqrt{x}，求y^\prime。
3. 计算不定积分\int x\cos xdx 。
4. 计算定积分\int_{0}^{1}\frac{x}{1 + x^2}dx 。
5. 已知函数y = y(x)由方程e^y + xy = e所确定，求y^\prime以及y^\prime|_{x = 0} 。
四、应用题（每题10分，共20分）
1. 要做一个容积为V的圆柱形罐头筒，怎样设计才能使所用材料最省？（即表面积最小，设罐头筒上下底面半径为r，高为h）
2. 已知某产品的总成本函数为C(x)=x^2 + 5x + 100（x为产量），总收益函数为R(x)=15x - \frac{1}{2}x^2 ，求：
- 利润函数L(x)；
- 产量为多少时利润最大，并求出最大利润。
五、证明题（10分）
证明：当x > 0时，x > \ln(1 + x) 。 |
